《几何学和潜能》

能值得一提的是生物专攻专攻中的的一切粗大度用量值，包括测矿物专攻和科专攻上的粗大用量值度。

我值得警惕要感激这种“确实解析几何”专攻的论据，因为正是有了它，我才建立新了过去的相较论。如果不能有这种象征意义下的解析线官能代数，所列的难题也就无需于是又考虑了：一个相较于瞬时系由来作运动的参照系由，因为存有相对论官能松弛，使得角运动速度的分列关系由式不于是又与线官能代数解析几何的规则相符，所以，假如非瞬时系由也得以被声称有同等的威望，那么线官能代数解析几何就需被不抛弃。再进一步来知道，如果缺乏上述阐释，那么向仅指协变异微分方程过渡的最终官能一步就很难被确定。假如我们视为在集合论专攻线官能代数解析几何中的给与的静止外形，与确实的角运动速度间有一定关系由，那么正如敏捷的、有打算法的思打算家彭加勒视为的那样：线官能代数解析几何的非常简单官能是其他一切很难设打算的集合论专攻的解析几何所必须曾超出的。

……如果理论模型与专业科专攻间真神的存有不能不调和的矛盾，那么我宁愿保有集合论专攻的线官能代数解析几何，而去将生物专攻关系由式忽略异了。……

一些研究工作者不视为确实角运动速度和解析对角间存有等效官能，毕竟很非常容易能看不到这种等效官能。他们为什么则会这样视为呢？经过稍来稍深层的调研，他们警惕到，在物质之中存有的确实液体躯体并不能有表现借助承重为，这些液体的解析几何子代是由温度、除此大多力等原因最终的。反之亦然，存有于解析几何与生物专攻以致于间的那种原始、直接的关系由就被严重破坏了，我们需忽视彭加勒的论据，他的理论模型是从最一般的大体上原理着眼。以致于事物的子代必须全然用解析几何（G）来显然，要打算来作到这一点，解析几何需同全部生物专攻关系由式（P）相结合。我们可以这样用符号坚称：当且仅有当（G）与（P）相加时，才能得借助实验者的结果。在这之中，我们可以至多所选（G），也可以至多所选（P）的某些之外。因为所有的生物专攻关系由式都是不能忽略异的，要打算能避免合理官能的情形，我们需把握好其余之外（P）的所选，我们要确保把（G）和全部的（P）合并大大的的时候，不与专业科专攻武装冲突。如果我们站在这之外理性难题的话，从相识角度上知道，集合论专攻的解析几何同已获得公认威望的那之外的自然规律是等效的。

我声称一点，依照永恒的论据，彭加勒的理论模型是不能有错误的。在表象当今中的，我们不能见到与理论模型确切相较的两边，比如相较论中的用量锤以及同它配上的时计，我们在表象之中是找仅有仅有对应物的。显而易见，在生物专攻专攻的法则论大厦之中，液体和时计并不能有担纲不能不简约的特官能，它们的构件是复合式的。在理论模型生物专攻专攻上，这种特官能不能担当起任何独立自主新的角色。但是，就理论模型生物专攻专攻大多的发展情形而言，这些法则论是被独立自主新适用的。因为我们在轻特官能理论模型大体上原理之外的科专攻还稍来稍为缺乏，骤然我们不能在理论模型上，把它们当来作是构出液体和时计的大体上法则论。

另除此大多，我还警惕到一种截然也就是说的论据，这种论据不同意物质中的存有根本的角运动速度，在这个也就是说下，角运动速度其本质就不能受限制于生物专攻以致于。然而，我们不能也就是说在这种论据的研究工作上大费周章，因为它并不能有凹凸不平看上去的那样极为重为要。要打算适用量具的生物专攻状态被准确无误地测定，并正确官能它的子代可以毫无歧义地替代角运动速度，是一件很非常容易的什么事。不过，那些有关角运动速度的陈述却是需参照这种用量具。

因此，我们可以知道一条为专业科专攻所能及的大体上原理构出了整个确实解析几何的基石，让我们先前着来相识这条大体上原理。我们可以在一个确实的角运动速度上来作借助两个上两道，并把这对大写成字母称做一个截段。我们设打算手中的有两个确实角运动速度，并且这两个上两道各标有一个退路。倘若一个退路两端的大写成字母跟另除此大多一个忘记重为合的话，我们可以视为这两个退路彼此间是“等同于”的。过去，我们先为这样一个并不一定：

假如在某时某地这两个退路等同于，它们在何时何地都则会忘记等同于。

对这个理论模型最相较之下的推动是线官能代数的确实解析几何——猜打算的确实解析几何。同时，宇宙专攻也以这个并不一定为基石。有很多实验者可以为这个并不一定透过依据，过去只所选一个谈论解。和光在空虚内部空间中的顺利完出传播的时候，在每一段的当地星期之中都则会确定一个退路——和光的附加可到。也就是说的情形也是出立新的。从这一点我们可以看借助：退路并不一定在相较论中的时计的星期间隙难题上比如知道受限制。

由此我们可以隐含如下：在任何星期和区域内，如果两只理打算的钟丢下得高低相一致的话，那么不论是什么星期，什么区域内，我们于是又将这两个钟表先为来得时，它们的高低还应该大抵相同。假如确实存有的钟表不违背这个关系由式，我们就则会警惕到，同一种特官能中的被分割开去的价电子的本征频率并才则会严格相一致，这一点有所区别专业科专攻。经实验者我们得知锐和发射光谱是存有的，这一结果为上述的确实解析几何大体上原理透过了有力的证据。我们谈到过去，终于可以分析一个意味深粗大的难题：四维内部空间——星期连续区的猜打算度规的出因。

根据这之中的论据，我们不能确实地指借助这个连续区的构件根本是来自于线官能代数，或者是猜打算的，毫无疑问还是任何别的什么人。要打算看看这个有关生物专攻专攻本身的难题需依靠专业科专攻，只依据方便与否而先为借助订下必需排斥是不不对的。假如我们仅有仅有在很小的一片区域之中调研内部空间—星期难题，那么确实角运动速度的分列关系由式就稍来稍为相较之下线官能代数解析对角的关系由式，在这种情形下，猜打算的解析几何理论模型才能有立新足之地。

诚然，我们把有关这个解析线官能代数的生物专攻释义，在低于分子数用量级的内部空间中的顺利完出直接既有是如出一辙的。不过，这一来作法也不是毫无益两处，至少在彻底解决一些有关大体上粒子的组出难题时，还发挥了一些先为用。我们对组出颗粒的偷偷地电大体上粒子顺利完出揭示时，可以试图把场的法则论突显一定的生物专攻象征意义。在此之前，我们只是将这些法则论既有在比分子远大于的静止上，用来揭示这些静止的解析几何子代，并给与这些静止一个生物专攻概念。过去，我们打算把猜打算解析几何的大体上大体上原理在生物专攻概念之除此大多的抽象法则论适用，并且愿意它仍不具生物专攻以致于的象征意义，可是，此刻我们不能评判这种企图的出功与否，我们不能去结果暗示的设法谜题。毫无疑问则会是这样的结果：这种除此以小幅度与温度法则论除此以小幅度到分子数用量级的静止相较时，缺乏了许多依据。

从凹凸不平看得出，把确实解析几何的法则论推动到黑洞数用量级的内部空间上，才则会用到过于多难题。但是，一些赞出意见也值得我们警惕。这种意见指借助：当液体锤组出构件的内部空间越变异越大时，理打算承重为就越不能不能在这种构件中的得以体现。在我看得出，这种赞出之词并不能有涉及难题的实质。因为从确实解析线官能代数的象征意义上看，研究工作黑洞在内部空间上的也就是说极小这一难题，是稍来稍为有也就是说的。甚至，我视为，在之后的将来，科专攻不一定看看不住这个难题。在这之外，宇宙专攻提借助了两种意味著官能：

其一，就内部空间而言，黑洞是无限的。这种无限官能只有在一定的必需下才则会变异出意味著。当临近的在黑洞主星之中的颗粒最低内部空间量标量时，这一必需也就保证了。这一必需也就也就是知道：所调研的内部空间总重为用量不断变异大，星的通用量对于它们散布着的整个内部空间总重为用量的平均值无限地略显零。

其二，就内部空间而言，黑洞也是极小的。这种极小官能是通过黑洞内部空间的重为颗粒最低量不为零来构建的。因为最低量稍小，黑洞的总重为用量就稍大。

值得指借助的是，关于这个黑洞极小官能的新理论模型，我们可以列辨一个理论模型顺利完出推论。宇宙专攻中的有这样一个论据——既定静止的瞬时随着它附近有重为颗粒的增加而增高。所以，我们很非常容易把一个静止的总瞬时与它同黑洞中的其他静止间的彼此间先为用关系由大大的。依据宇宙专攻的微分方程我们可以给与所列论证：只有声称黑洞的极小官能，才能把瞬时全然看来作静止间的彼此间先为用。

这种推论并不能有给与生物专攻专攻家和科专攻家的为广泛重为视。经过分析，我们于是又度警惕到：专业科专攻最终了这两种意味著官能在表象中的的存有情形。那么，为什么唯独专业科专攻可以正确官能这些情形呢？

首先，我们可以设打算从我们早已仔细观察到的之外黑洞得来，进而来测用量颗粒的最低量。可是，这种打算法根如出一辙。因为在黑洞中的分布区的主星是十分带状的，我们不能凭借自己的打算当然，视为某一主星的最低颗粒量与其他主星或者矮星系由是等价的。不能值得警惕指借助的是，无论我们调研了多大的内部空间，我们依然必须确定在这个内部空间以除此大多也就是说还存有主星。如此一来，近似值最低量的盼望也不能卷土重来。

在这之中，我打算到了另除此大多一个彻底解决也就是说，尽管也存有许多困难，但是不具一定的可操先为官能。如果我们把宇宙专攻中的那些为专业科专攻所能及的论证，与卡文迪什理论模型的论证相较比，并研究工作这些误差时，我们首先则会在引力颗粒的近旁警惕到一个误差。水星早已给我们透过了这样的辨例来说。不过，假如我们声称黑洞内部空间的极小官能，那么我们就给与了远离卡文迪什理论模型的第二个误差。我们既有卡文迪什理论模型的语法将它隐含如下：看大大的，不仅有有重为颗粒可以导致引力，而且平滑分布区在整个内部空间之中的偷偷地负数的准确官能量也可以导致引力。不过，后一种引力只有在稍来稍为广大的引力经济制度由中的才能被觉察，因为这个虚设的准确官能量排斥极小。

如果流星之中主星的统计分析分布区和准确官能早已被我们得知的话，我们可以借助卡文迪什关系由式，近似值借助引力以及这些星所需不具的最低运动速度。在这之中，我们强调需不具是有理由的。因为只有保有这个运动速度，矮矮星系由之中的各个主星才彼此间更有以保证矮矮星系由才则会下沉，并且使矮矮星系由的确实较小得以维持。如果主星的确实运动速度能测用量借助来，而且我们警惕到这个运动速度比我们近似值借助来的运动速度小的话，我们就可以得借助如下论证：远处距离间的确实更有力低于卡文迪什关系由式所定的数额。黑洞的极小官能可以间接地被这个误差证明，甚至，我们还可以大抵估算借助黑洞内部空间的较小。

我们可以把黑洞设打算出一个极小但无分界的一维内部空间吗？

一般来知道，谜题也就是说定的。比如说，我们要通过证明给与一个全然不同的论证。我打算强调一点，经过一些概念化，我们用打算象的图片来详述黑洞的极小官能理论模型是不能有什么相同困难的。过不住多久，我们则会习惯这些图片。

首先，我们要对范式的其本质顺利完出调研。因为这只是一组法则论，解析几何——生物专攻理论模型本身必须被直接描绘借助来。但是，天才中的现存的各式各样的以致于的或者是打算象的感受应验，很难被这些法则论关系由大大的。由此知道来，理论模型两道孔化确实上是指，为理论模型找回系由统对分列的许多可感受的专业科专攻。就当前而言，我们要彻底解决的难题是，怎样对液体彼此间分列（相识）的子代顺利完出揭示，才把它同黑洞的极小官能理论模型对应大大的。对这个难题，我并不能有什么新鲜的两边可谈论；不过，许多对这些难题很感兴趣的人曾向我提借助很多疑惑，这详述大家的想像力并不能有给与充分的保证。所以，我最终在这之中于是又次谈论一下这个难题，如果我谈论到了大家早已熟知的之外，还请内行人见谅。

我们引用内部空间无限的时候，我们意在表曾达什么主旨呢？毕竟，这只是详述在这个内部空间之中，我们可以一个挨着一个地至多安不放比如知道较小的静止，而忘记才则会把内部空间除去。依照线官能代数解析几何，我们把很多个比如知道较小的立新方盒，在它们彼此的上下、有数、前后堆不放大大的，把内部空间中的一个至多较小的地方除去；不过，这种内部构件是不能有最大化的。那么，这就也就是知道我们添加无限多个方盒，忘记都有余地。内部空间是无限的，也就是这个意思。我们可以用一种尤为有意思的来历来揭示：如果角运动速度的分列关系由式符合线官能代数解析几何的规定，那么，对于确实角运动速度而言，内部空间是无限的。

另除此大多，我们可以用直角辨一个无限连续区的辨例来说。我们可以将许多河间王卡牌不放在一个直角上，使得任何一张卡牌的每他站都被通到。这种内部构件也是不能有止境的。只要这些卡牌的分列关系由式符合于线官能代数解析几何的直角可视化的分列关系由式，我们可以无限制地于是又次不放卡牌。因此，直角对于这些方卡牌而言是无限的。我们可以知道，直角是二维的无限连续区，内部空间是一维的无限连续区。

过去，我们于是又列辨一个二维连续区的相同辨例来说——极小但无分界的。我们用一个大进球和一些较小大抵相同的纸制小圆片来详述这种情形。我们在大进球凹凸不平的至多一个地方不放一个上头，并把这个上头在进球的凹凸不平随意旋转，在这个过程中的，我们就撕仅有仅有分界。因此，我们可以把这个大进球的凹凸不平看得出一个不能有分界的连续区。很显然，这个连续区也是极小的。我们可以打算象一下，如果在进球的凹凸不平贴上所有上头，并且这些上头都才则会彼此间交错，于是又度则会把曲两道贴满，而必须于是又贴上另除此大多的上头。因此，对于上头而言，这个进球的凹凸不平是极小的。

值得指借助的是，曲两道是一个二维的非线官能代数连续区，这也就也就是知道：线官能代数直角的关系由式必须既有在这些承重为可视化的分列上。关于这一点，我们可以用比如说的法则证明：我们用六个上头把一张上头围大大的，这六个上头，我们也用比如知道的手段将它们围住，按照这种手段始终打算到。假如我们把这个内部构件不放在直角上，这个内部构件就能形出一个连绵慢慢的分列，在这个分列之中，除了那些不放在一侧的上头，每一个上头都与六个上头相相识。然而，假如我们在曲两道上顺利完出这样的内部构件，在起初的时候，因为上头的表两道积比进球的表两道积小得多，这种内部构件还是可行的，因为上头表两道积对进球表两道积的平均值稍小，这种愿意无论如何就稍大。可是始终将这种内部构件打算到的话，我们则会日渐相较来知道地警惕到，上头不能按照上述的手段粗大曾达地分列下去。反之亦然，就算是那些必须回到这个曲两道，甚至必须把曲两道看得出一维内部空间的人，只要他们用上头来来作实验者，就则会警惕到他们的二维“内部空间”不是线官能代数内部空间，而是曲两道内部空间。

相较论的最近研究工重为申果暗示，一维内部空间很意味著跟进球体内部空间类似。要是仅有仅有，一维内部空间之中角运动速度的分列关系由式就才则会符合照线官能代数解析几何的规定，而应该遵循一般来说的曲两道解析几何的规定。当然，这不能我们所调研的那之外内部空间更多大。我们谈论到这之中，观看者意味著则会犹豫不决。他意味著则会不安地示意，视为不能有人能打算象借助这种两边。他也意味著在打算：这样知道知道也无伤大雅，可是必须这样去打算。打算象一个曲两道，对我而言不是难事。但是，要我打算象它的一维类比，可不能那么非常容易。

这种----，我们需摆脱。但凡是有耐心的观看者，他们都则会警惕到不难来作到这一点。为了使大家无论如何这一点，接下来，我们不能于是又看一下二维曲两道解析几何。我们就让示意图，我们举例K为曲两道，L是曲两道上的一个圆上头。我们把曲两道与直角E相相识的地方用S坚称。为了坚称的方便，我们用一个有分界的两道，来坚称这个直角。过去，我们开始设打算：曲两道上，与S反向相较的N点是则会发和光的，它在直角E上投下上头L的尘L′。无论如何上，进球上的每一点都则会在直角上留下可视。假如曲两道上的上头L稍演稍烈旋转，直角E上的尘L′也则会稍演稍烈附加的旋转。当上头L旋转到S两处，它的可视和它就大部分全然叠合。如果上头从S两处于是又次向上旋转，尘L′也从S向除此大多旋转，而且越变异越大。当上头L相较之下发和光点N时，尘L′就移向无穷远两处，而变异得趋近。

看完示意图，我们来理性一个难题——直角E上的上头的尘L′拥有什么样的分列关系由式？显而易见，它们同曲两道上上头L的分列关系由式全然相一致。曲两道上上头的解析几何与直角上可视的解析几何是相一致的。假如我们把这些可视概念为承重为可视化，那么，曲两道解析几何在直角E上比如知道受限制。不能指借助的是，直角不能给予极小的上头的可视，因为在上头上，只有极小取值的上头尘能占总到右边。

至此，有人意味著则会赞出将上头的尘归入承重为可视化的来作法。毕竟，我们全然可以通过一根尺子在直角E上旋转的情形来正确官能这一点，当尘子在直角上旋转的距离S日渐远时，尘子就则会越变异越粗大。不过，在直角上如果这根尺也像上头的尘L′那样很难伸缩则会详述什么？那样一来，就不能使人看不到尘子回到S时则会变异粗大，这样的举例也就不能有象征意义。因此，我们可以给与有关上头尘的唯一客观官能断定：上头与尘间的关系由与线官能代数解析几何象征意义上的曲两道上的承重为上头的关系由，是全然大抵相同的。

在这之中，我们不能够一点：我们只有把上头的尘与那些能在直角E上运动的线官能代数角运动速度先为来得，关于上头尘增高（当它们向无穷远两处旋转时）的陈述本身才则会有客观官能象征意义。就尘L′的分列关系由式而言，视为S点在直角上，还是在曲两道上，都才则会尘响于是又度的结果。

对我们而言，把曲两道解析几何在直角上坚称是稍来稍为有也就是说的，反之亦然，我们很非常容易把它转化出为一维模式。

我们设打算一个内部空间之中有一个点S和很多个碰L′，这些碰彼此间都能彼此间重为合。不过，这些碰与线官能代数解析几何象征意义上的承重为进球不过于一样：从S向无穷远的地方旋转时，就线官能代数解析几何的象征意义来知道，这些碰的表两道积在增粗大。它在增粗大过程中的所遵循的关系由式与直角上那些上头的尘L′的表两道积增粗大关系由式大抵相同。

当我们的脑海之中用到这些L′进球的解析几何子代的一个生动的映像后，我们举例这个内部空间之中是压根不存有线官能代数解析几何象征意义上的角运动速度，只有L′进球子代的外形。仅有仅有，我们就可以在脑海之中明了地勾勒借助一幅关于一维曲两道内部空间的图片，准确地知道，是关于一维曲两道解析几何的图片。在此，我们有也就是说把这些进球称做“承重为”进球。当这些碰回到S时，用用量锤的用比值是不能化验它们较小的增粗大情形，这一点跟上头尘在直角E上的情形大抵相同，这些进球的用比值规范子代跟后者的子代大抵相同。在每一点的附近可以见到比如知道的进球的分列，因为内部空间是平滑的。由于这些进球则会慢慢地“增高”，在极小的内部空间中的，不能为一定数用量的进球留借助右边。

因此，我们的思维和打算象的概念化可以从线官能代数解析几何中的见到支柱，以便获得曲两道解析几何的心理图片。这些相同的两道孔构图，可以给我们的观念透过不大的设法，使这些观念稍来稍有厚度，稍来稍具动感。两道对只不过的椭两道解析几何难题时，我们也能轻易地实行类似法则。过去，我打算申明地无限期：对非线官能代数解析几何而言，人的两道孔思维意味著不是无能为力的。

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